LINGKARAN

L I N G K A R A N

Persamaan lingkaran

A.Lingkaran dengan pusat di O ( 0, 0 ) dan melalui titik P ( x, y )

Per hatikan gambar berikut !
Dengan memperhatikan definisi lingkaran diatas, maka dalam bentuk himpunan persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai

L = { P/ OP = r }.

Karena ruas garis OP menghubungkan dua titik O dan P, maka panjang OP bisa dihitung dengan menggunakan rumus jarak yaitu,:





sehingga persamaan lingkaran semula bisa ditulis sebagai :

Untuk mempermudah dalam pemakaian/ perhitungan, biasanya rumus persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan melalui titik P ( x, y ) dan berjari-jari r ditulis sebagai :
“x ² + y ² = r ^{2 “}

B.Lingkaran dengan pusat di M ( a, b ) melalui titik P ( x, y ).

Perhatikan Gambar Berikut !

Jika kita menggeser lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan melalui P ( x, y )sejauh a satuan searah sumbu X dilanjutkan b satuan searah sumbu Y, maka pusat lingkaran berpindah dari O ( 0, 0 ) ke titik M ( a, b ) .Dengan cara yang sama kita bisa menuliskan formula persamaan lingkaran yang berpusat di M ( a, b ) melalalui titik P ( x, y ) dan berjari-jari r sebagai beriktut :

Untuk mempermudah dalam pemakaian/ perhitungan biasanya rumus persamaan lingkaran dengan pusat M ( a, b ) melalui titik P ( x, y ) dan berjari-jari r, ditulis sebagai : ( x – a ) ² + ( y – b ) ² = r ²

C.Bentuk umum Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di-sembarang titik M, melalui sebuah titik P dan berjari-jari r dapat diturunkan dari persamaan lingkaran yang berpusat di M ( a, b ) melalalui titik P ( x, y ) dan berjari-jari r, sebagai berikut :

( x – a ) ² + ( y – b ) ² = r ²

x ² – 2ax + a ² + y ² – 2by + b ² = r ²

x ² + y ² – 2ax – 2b y + a ² + b ² - r ²= 0

Jika : -2a = A,, -2b = B, dan a ² + b ² - r ² = C

a = A , b = B, dan r =

maka bentuk “ x ² + y ² – 2ax – 2b y + a ² + b ² - r ²= 0 “ bisa ditulis sebagai :

D.Persamaan lingkaran yang menyinggunggaris ax + by + c = 0

Perhatikan gambar berikut !

Persamaan lingkaran yang berpusat di M( p, q ) dan menyinggung garis gax + by + c = 0 bisa kita peroleh jika kita bisa menentukan jarak pusat lingkaran ke garis. Jarak pusat lingkaran ke garis g merupakan panjang jari- jari lingkaran itu sendiri ( ingat ! bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus jari-jari lingkaran ) . Dengan menggunakan rumus jarak suatu titik ke sembarang garis yang mempunyai persamaan ax + by + c = 0 , kita bisa menentukan panjang jari-jari lingkaran yaitu sebagai berikut :

sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di M( p, q ) dan menyinggung garis gax + by + c = 0 mempunyai persamaan

E.Kedudukan garis terhadap lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Ada tiga kemungkinan kedudukan garis lurus terhadap lingkaran yaitu :

1. Garis tidak menyinggung dan tidak memotong lingkaran ( lihat garis g ).

2. Garis menyinggung lingkaran ( lihat garis h ) di satu titik singgung.

3. Garis memotong lingkaran ( lihat garis j ) di-dua titik.

Untuk mengetahui apakah suatu garis lurus tidak menyinggung,dan tidak memotong lingkaran ( garis g ), ataukah garis lurus menyinggung lingkaran ( garis h ), atau garis memotong lingkaran ( garis j ) kita dapat melakukan perhitungan berikut :

Lingkaran dengan persamaan x ² + y ² = r ² dan garis dengan persamaan y = mx + c .JIka kita substitusikan y ke persamaan lingkaran akan kita peroleh :

x ² + ( mx + c ) ² = r ²

x ² + m²x² + 2mcx + c² = r²

( 1 + m²) x² +2mx + c² – r² = 0 ….( bentuk persamaan kuwadrat/ persamaan kurva ).

Persamaan kurva ini akan menyinggung,memotong, atupun definit, tergantung dari harga diskriminannya ( D ).

Jika D = 0, maka kurva akan menyinggung sumbu x tepat disatu titik.

Jika D > 0, maka kurva akan memotong sumbu x didua titik.

Dan jika D < 0 maka kurva definit ( tidak menyinggung dan tidak memotong ).

Dengan memperhatikan kecenderungan /sifat kurva terhadap sumbu x, kita dapat menganalogkan kedudukan garis ( sumbu X ) terhadap lingkaran ( kurva ) cukup dengan mengetahui nilai diskriminan dari persamaan kuwadrat yang di peroleh.

F.Kedudukan titik terhadap lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Untuk mengetahui suatu titik berada di dalam , pada, dan diluar lingkaran, kita cukup membandingkan panjang garis yang menghubungkan titik tersebut dengan pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkarannya.Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua buah titik , kita dapat menunjukan bahwa titik P berada didalam lingkaran karena < OQ = r, titik Q berada pada lingkaran karena = r, dan titik R berada diluar lingkaran karena > = r

.

Dengan demikian jika sebuah titik A ( a, b ) :

1. Berada didalam lingkaran jika nilai dari a ² + b ² < r ²

2. Berada pada lingkaran jika nilai a ² + b ² = r ² dan

3. Berada diluar lingkaran jika nilai a ² + b ² > r ²

Nilai dari a ² + b ² disebut juga “ Kuasa “. Jadi kuasa titik A terhadap lingkaran adalah “ a ² + b ² ”

G.Garis Singgung Lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Garis g menyinggung lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r dititik P ( x₁, y₁ ) .Garis g tegak lurus OP = r ( mengapa ? ) sehingga haruslah :

m _{OP .} m _g = -1 ( mengapa ?).m_OP =

. m _g = -1 m _g = …substitusikan ke-persamaan garis g dipoeroleh

y – y ₁ = ( x – x ₁ ) ( y – y ₁ ) y ₁ = -x ₁ ( x – x ₁ )

y ₁ y – y ₁ ² = -x ₁x +x ₁ ²

x ₁x + y ₁ y = x ₁ ² + y ₁ ²

x ₁x + y ₁ y = r ²

sekarang perhatikan gambar berikut !

Garis g menyinggung lingkaran yang bepusat di M ( a, b ) dan berjari-jari r di-titik P ( x ₁, y ₁ )

Garis g MP sehingga :

m _{MP .} m _g = -1

. m _g = - 1

m _g = …substitusikan ke persamaan garis g :

y – y ₁ = ( x – x ₁ )

( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) = - ( x ₁ – a ) ( x – x ₁ )

( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + r ² = - ( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + r ² …( kedua ruas ditambah r ²)

( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + ( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + ( x₁ –a ) ² + ( y₁ – b ) ² = r ²

( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + ( x₁ –a ) ² + ( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + ( y₁ – b ) ² = r ²

( x ₁ – a ) {( x – x ₁ ) + ( x₁ –a ) } + ( y ₁ – b ) { ( y – y ₁ )+ ( y₁ – b )} = r ²

( x ₁ – a ) ( x – a ) +( y ₁ – b ) ( y –b ) = r ²

( x – a ) ( x ₁ – a ) +( y –b ) ( y ₁ – b ) = r ²

H.Persamaan Umum Garis SinggungLingkaran

Dari Persamaan ( x – a ) ( x ₁ – a ) +( y –b ) ( y ₁ – b ) = r ² didapat

x₁x – ax – ax₁ + a² + y₁y– by – by₁ +b² – r² = 0

x₁x + y₁y – ax – ax₁ – by – by₁ + a² + b² – r² = 0

x₁x + y₁y – a( x +x₁ ) – b( y +y₁ )+ (a² + b² – r² )= 0

x₁x + y₁y +A( x +x₁ ) +B( y +y₁ )+ C = 0